6.5 Graphs of Sine, Cosine and Tangent

图像绘制练习题

以下练习题要求绘制三角函数图像，熟悉图像的基本特征。

练习题 1

绘制 \( y = \sin \theta \) 在 \( -180^\circ \leq \theta \leq 180^\circ \) 的图像。标出所有零点、极值点和关键交点。

解题步骤：
1. 零点：θ = -180°, 0°, 180°（sin θ = 0）
2. 最大值：θ = 90°，y = 1
3. 最小值：θ = -90°，y = -1
4. y轴交点：θ = 0°，y = 0
5. 绘制光滑的S形曲线，连接这些关键点

答案：绘制S形曲线，过零点(-180°,0)、(0°,0)、(180°,0)，最高点(90°,1)，最低点(-90°,-1)

练习题 2

绘制 \( y = \cos \theta \) 在 \( 0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ \) 的图像。标出所有零点、极值点和关键交点。

解题步骤：
1. 零点：θ = 90°, 270°（cos θ = 0）
2. 最大值：θ = 0°，y = 1
3. 最小值：θ = 180°，y = -1
4. y轴交点：θ = 0°，y = 1
5. 绘制钟形曲线，从(0°,1)开始，下降到(180°,-1)，上升到(360°,1)

答案：绘制钟形曲线，从(0°,1)到(180°,-1)到(360°,1)，零点在90°和270°

练习题 3

绘制 \( y = \tan \theta \) 在 \( -90^\circ < \theta < 270^\circ \) 的图像。标出渐近线、零点和关键特征。

解题步骤：
1. 渐近线：θ = 90°, 270°（垂直线）
2. 零点：θ = 0°, 180°（tan θ = 0）
3. 从左到右：从负无穷上升，过(0°,0)，上升到正无穷
4. 过渐近线90°后，从负无穷上升，过(180°,0)，上升到正无穷
5. 绘制两条分支，中间有渐近线隔开

答案：绘制两条上升曲线，被90°和270°处的垂直渐近线隔开，零点在0°和180°

三角方程求解练习题

以下练习题要求利用图像特征求解三角方程。

练习题 4

已知 \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，利用 \( y = \cos \theta \) 的图像，找出另一个角度 \( \theta \) 使得 \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，其中 \( 0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ \)。

解题步骤：
1. 余弦函数是偶函数，图像关于y轴对称
2. 已知cos 30° = √3/2，对应点(30°, √3/2)
3. 由于对称性，另一个解是-30°，即330°
4. 验证：cos 330° = cos(-30°) = cos 30° = √3/2

答案：330°

练习题 5

求解方程 \( \tan \theta = \sqrt{3} \)，给出 \( 0^\circ \leq \theta < 360^\circ \) 内的所有解。

解题步骤：
1. 正切函数周期为180°，基本解为60°
2. 在一个周期内：θ = 60°（第一象限）
3. 加上一个周期：θ = 60° + 180° = 240°（第三象限）
4. 验证：tan 60° = √3，tan 240° = tan(180° + 60°) = tan 60° = √3

答案：60°, 240°

练习题 6

求解方程 \( \sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)，给出 \( -180^\circ \leq \theta \leq 180^\circ \) 内的所有解。

解题步骤：
1. 正弦函数奇函数，对称于原点
2. 基本解：θ = -45°（第四象限，sin(-45°) = -1/√2）
3. 利用周期性：θ = -45° + 360° = 315°（但超出范围）
4. 另一解：θ = 180° + 45° = 225°（第三象限，sin 225° = sin(180° + 45°) = -sin 45° = -1/√2）
5. 验证：在-180°到180°内：-45°, 225°（315°超出范围）

答案：-45°, 225°

练习题 7

利用图像特征，求解 \( \cos \theta = 0 \) 在 \( 0^\circ \leq \theta \leq 720^\circ \) 内的所有解。

解题步骤：
1. 余弦函数零点：90° + 180°k
2. 在0°到720°内：
k=0: 90°
k=1: 90° + 180° = 270°
k=2: 90° + 360° = 450°
k=3: 90° + 540° = 630°
3. 验证：cos 90° = 0, cos 270° = 0, cos 450° = cos 90° = 0, cos 630° = cos 270° = 0

答案：90°, 270°, 450°, 630°